선적분이란?

선적분이란 곡선에 대한 적분을 의미한다. 어떤 n차원의 선에 있는 모든 점에 대해 적분을 하는 것이다.

 

어떤 함수 f : R^n -> R이 있고, 곡선 C가 X : {x | x in [a,b] in R} -> R^n이다.

이때, 곡선 C는 "조각"적으로 "미분가능"하게 "매개화" 가능할 때, 선적분은

$ \int_C f = \int_a^b {f( \overrightarrow{X} (r) ) \left\| \overrightarrow{X}'(r) \right\| \mathrm{dr}}$

와 같이 정의된다.

 

바로 보이는 $ \left\| \overrightarrow{X}'(r) \right\| $ 부분이 눈길을 사로잡는다. 이는 1학년 2학기때 배운 비오-사바르 법칙을 공부할때 했던 내용과 거의 동일하다. 그때는 미소전류였다면, 지금은 곡선 C의 미소 벡터이다.

 

한 번 식을 풀어서 봐보자. 좌항은 곡선 C의 각 점에 대해서, 그 위치들 에서의 f 함수의 적분값은 우항과 같다는 뜻이다.

 

우항은 dr의 형태로, 곡선 C를 펼쳐놓은 것이다. 그래서 곡선을 [a,b]구간으로 이동시킨다..(마치 고유조각사상과 비슷한 느낌이었다.. 평면에서 매끄러운 면으로 옮기는 그런 느낌...) 

 

각 지점에서, X는 [a,b]를 곡선 위의 한 점으로 다시 돌려준다. 수직선 [a,b]를 곡선으로 보내주는 역할을 하는 것이다. 인즉, X dot이라 한다면 미소변위? 곡선을 무수히 많은 구간으로 나눴을때 그 각 구간들을 바로 X dot이 말해주는 것 같았다. 아마 조각적으로, 미분가능하게 매개화 할 수 있어야 하는 이유는 수직선 [a,b]에 곡선을 매핑하는 함수 X가 존재해야 하기 때문인 것 같다. 

 

길이에 그 크기를 곱하는 형태라고 볼 수 있다. 정적분 할 때 fdx를 미소 넓이로 보던 것과 동일한 것이다. 그리고, 이것이 가능한 이유는 아마 함수 f가 스칼라 장의 형태를 띄고 있기 때문인 것 같다. 스칼라로 이루어진 어떤 장에서 선적분이란, 마치 좌표평면에서 우리가 넓이를 구하고 부피를 구하던 것과 비슷한 느낌이 아닐까?

 

이외에도 나무위키에서는 벡터장의 선적분, 복소선적분을 다루지만, 기하학에서 그린 정리를 쓰고 싶을 뿐인 나는 그린 정리를 다음 포스팅으로 돌아오겠다.